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证明是等差数列应怎么证？每次我都变不对，快考试了，老师能耐心教教我吗？
时间：2016-08-29 10:10:24
同学请你记住一点：要证明是等差数列最根本的是要证明数列的任意后项与前项之差为一个不变的定值（即公差），或者连续三项成等差中项的关系。 例如：已知一元二次方程a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等的实根，求证：1/a,1/b,1/c成等差数列 证明：∵a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有等根 ∴Δ＝[b(c-a)]^2-4[a(b-c)][c(a-b)]=0 a^2b^2+b^2c^2-2acb^2 -4bca^2+4acb^2+4a^2c^2-4abc^2=0, a^2b^2+b^2c^2+2acb^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0 (ab+bc)^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0 (ab+bc-2ac)^2=0 ∴ab+bc-2ac=0, ab+bc=2ac，两边同除以abc得：(1/c)+(1/a)=2/b, ∴2/b=1/a+1/c ∴1/a,1/b,1/c成等差数列
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共1条回答
热心老师
同学请你记住一点：要证明是等差数列最根本的是要证明数列的任意后项与前项之差为一个不变的定值（即公差），或者连续三项成等差中项的关系。 例如：已知一元二次方程a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等的实根，求证：1/a,1/b,1/c成等差数列 证明：∵a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有等根 ∴Δ＝[b(c-a)]^2-4[a(b-c)][c(a-b)]=0 a^2b^2+b^2c^2-2acb^2 -4bca^2+4acb^2+4a^2c^2-4abc^2=0, a^2b^2+b^2c^2+2acb^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0 (ab+bc)^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0 (ab+bc-2ac)^2=0 ∴ab+bc-2ac=0, ab+bc=2ac，两边同除以abc得：(1/c)+(1/a)=2/b, ∴2/b=1/a+1/c ∴1/a,1/b,1/c成等差数列